1. Any direct sum of finitely many finitely generated abelian groups is again a finitely generated abelian group.

Jede direkte Summe von endlich vielen endlich erzeugten abelschen Gruppen ist wieder eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

2. Every subgroup and factor group of a finitely generated abelian group is again finitely generated abelian.

Jede Untergruppe und Faktorgruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist wieder endlich erzeugt abelsch.

3. This is the fundamental theorem of finitely generated abelian groups.

Dies ist eine Aussage des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen.

4. The finitely generated abelian groups can be completely classified.

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen liefert eine vollständige Klassifikation dieser Gruppen.

5. For example, the cohomology ring of a path-connected H-space with finitely generated and free cohomology groups is a Hopf algebra.

So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra.

6. Researchers then applied these dualities to the study of open problems such as the characterisation of finitely generated projective many-valued algebras.

Die Forscher wandten im Folgenden diese Dualitäten auf die Untersuchung offener Probleme wie etwa die Charakterisierung von endlich erzeugten projektiven vielwertigen Algebren an.

7. The duality of finitely presented many-valued algebras and rational polyhedra was then obtained by specialising such an adjunction.

Danach erhielt man die Dualität von endlich dargestellten vielwertigen Algebren und rationalen Polyedren durch die Spezialisierung einer solchen Verbindung.

8. An affine algebraic group over a field k is a representable covariant functor from the category of commutative algebras over k to the category of groups such that the representing algebra is finitely generated.

Eine affine algebraische Gruppe über einem Körper k ist ein darstellbarer kovarianter Funktor von der Kategorie der kommutativen Algebren über k in die Kategorie der Gruppen derart, dass die darstellende Algebra endlich erzeugt ist.