1. Arnold, V. I. Abel's Theorem in Problems and Solutions.

Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях.

2. By Chow's theorem, no complex torus other than the abelian varieties can 'fit' into projective space.

По теореме Чоу никакой тор, отличный от абелевого многообразия, может быть «помещено» в проективное пространство.

3. Once that is done, the theorem is proven for abelian groups or modules over a ring.

Если это сделать, теорема будет доказана для абелевых групп или для модулей над кольцом.

4. Mitchell's embedding theorem states every abelian category arises as a full subcategory of the category of modules.

Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.

5. These are shown to be related by the Abel transform and an existence uniqueness theorem is presented.

Док азывается теорема су ществования и единст венности. Затем пред теорема существован ия и единственности.

6. By Pythagoras' theorem, the hypotenuse, or sloping side of the rep-5 triangle, has a length of √5.

По теореме Пифагора гипотенуза треугольника rep-5 имеет длину √5.

7. So the radius of convergence of any probability generating function must be at least 1, by Abel's theorem for power series with non-negative coefficients.

Таким образом, радиус сходимости любой производящей функции вероятностей должен быть как минимум 1, по теореме Абеля для степенных рядов с неотрицательными коэффициентами.

8. The Abel–Ruffini theorem shows that any such algorithm for dimensions greater than 4 must either be infinite, or involve functions of greater complexity than elementary arithmetic operations and fractional powers.

Теорема Абеля — Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерности большей 4 должен либо быть бесконечным, либо вовлекать функции более сложные, чем элементарные арифметические операции или дробные степени.

9. Computing the polynomial becomes expensive in itself, and exact (symbolic) roots of a high-degree polynomial can be difficult to compute and express: the Abel–Ruffini theorem implies that the roots of high-degree (5 or above) polynomials cannot in general be expressed simply using nth roots.

Т.к. вычисления полинома становятся слишком накладными сами по себе, и тем более точное (символьное) выражение корней полинома высокой степени затруднительно: теорема Абеля-Руффини показывает что корни полиномов высоких степеней (5 или более) невозможно выразить в общем случае при помощи обычных операции извлечения корня n-й степени.

10. A4 is the smallest group demonstrating that the converse of Lagrange's theorem is not true in general: given a finite group G and a divisor d of |G|, there does not necessarily exist a subgroup of G with order d: the group G = A4 has no subgroup of order 6.

A4 является наименьшей группой, показывающей, что теорема, обратная теореме Лагранжа, в общем случае, не верна — если дана конечная группа G и делитель d числа |G|, не обязательно существует подгруппа группы G с порядком d — группа G = A4 не имеет подгруппы порядка 6.