1. In the context of abstract algebra or universal algebra, a monomorphism is an injective homomorphism.

Dans le cadre de l'algèbre générale ou de l'algèbre universelle, un monomorphisme est simplement un morphisme injectif.

2. Every homomorphism of the Petersen graph to itself that doesn't identify adjacent vertices is an automorphism.

Tout homomorphisme du graphe de Petersen sur lui-même qui n'identifie pas des sommets adjacents est un automorphisme.

3. Every algebraic structure has its own notion of homomorphism, namely any function compatible with the operation(s) defining the structure.

Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition.

4. First, recall that an additive functor is a functor F: C → D between preadditive categories that acts as a group homomorphism on each hom-set.

Tout d'abord, on rappelle qu'un foncteur additif est un foncteur F: C → D de catégories préadditives qui agit comme un homomorphisme de groupes sur chaque collection de morphismes.

5. In category theory, the concept of catamorphism (from the Greek: κατά "downwards" and μορφή "form, shape") denotes the unique homomorphism from an initial algebra into some other algebra.

Dans la théorie des catégories, le concept de catamorphisme (du Grec: κατα- = vers le bas; morphisme = forme) dénote l'unique homomorphisme pour une algèbre initiale.

6. In algebraic categories (specifically, categories of varieties in the sense of universal algebra), an isomorphism is the same as a homomorphism which is bijective on underlying sets.

Dans les catégories algébriques (en particulier, les catégories des variétés au sens de l'algèbre universelle), un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.

7. Conversely if ∇ is an affine connection and Γ is such a smooth bilinear bundle homomorphism (called a connection form on M) then ∇ + Γ is an affine connection.

Réciproquement, si ∇ est une connexion affine et Γ est un morphisme de fibrés différentiable bilinéaire (on dit que c'est une forme de connexion (en) sur M), alors ∇ + Γ est une connexion affine.

8. The so-called class-invariant homomorphism ψ measures the Galois module structure of torsors—under a finite flat group scheme G—which lie in the image of a coboundary map associated to an isogeny between (Néron models of) abelian varieties with kernel G.

Le class-invariant homomorphism permet de mesurer la structure galoisienne des torseurs—sous un schéma en groupes fini et plat G—qui sont dans l’image du cobord associé à une isogénie, de noyau G, entre des (modèles de Néron de) variétés abéliennes.