1. The possible types of endomorphism ring have been classified, as rings with involution (the Rosati involution), leading to a classification of CM-type abelian varieties.

Les types possibles d'anneau d'endomorphisme ont été classés, comme les anneaux involutifs (l'involution de Rosati), conduisant à une classification de variétés abéliennes de type CM.

2. The inventive method is based on Frobenius endomorphism, whereby a very short $g(t)-adic expansion is obtained enabling rapid calculation of multiplication.

Le procédé de l'invention repose sur l'endomorphisme de Frobénius, ce qui permet d'obtenir une très courte expansion $g(t) qui permet un calcul rapide de la multiplication.

3. Public key cryptographic methods based on the difficulty of finding natural values of an endomorphism of a module on any ring or algebra

Procedes cryptographiques a cle publique bases sur la difficulte de trouver les valeurs propres d'un endomorphisme d'un module sur un anneau ou une algebre quelconque

4. In mathematics, an abelian variety A defined over a field K is said to have CM-type if it has a large enough commutative subring in its endomorphism ring End(A).

En mathématiques, une variété abélienne A définie sur un corps commutatif K est dite de type CM si elle possède un sous-anneau commutatif suffisamment grand dans son anneau d'endomorphismes End(A).