1. The explicit calculation of normal coordinates can be accomplished by considering the differential equation satisfied by geodesics.

Le calcul explicite des coordonnées normales peut se faire à l'aide de l'équation différentielle satisfaite par les géodésiques.

2. In particular, when M is a (pseudo-)Riemannian manifold and ∇ is the Levi-Civita connection, then the affine geodesic are the usual geodesics of Riemannian geometry and are the locally distance minimizing curves.

En particulier, lorsque M est une (pseudo-)variété riemannienne et ∇ est la connexion de Levi-Civita, les géodésiques affines sont les géodésiques usuelles de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire les courbes minimisant localement la distance.

3. In such coordinates the covariant derivative reduces to a partial derivative (at p only), and the geodesics through p are locally linear functions of t (the affine parameter).

Dans ces coordonnées, la dérivée covariante se réduit à une dérivée partielle (autour de p seulement), et les géodésiques passant par p sont localement des fonctions linéaires de t (paramètre affine).

4. Affine connections may also be used to define (affine) geodesics on a manifold, generalizing the straight lines of Euclidean space, although the geometry of those straight lines can be very different from usual Euclidean geometry; the main differences are encapsulated in the curvature of the connection.

Les connexions affines peuvent également servir à définir des géodésiques (affines) sur une variété, généralisant les lignes droites de l'espace euclidien, bien que leur géométrie puisse être très différente de la géométrie usuelle, en raison de la courbure de la connexion.