1. More precisely, an affine space is a set with a free transitive vector space action.

Un espace affine est un ensemble muni d'une action libre et transitive d'un espace vectoriel.

2. Recall the dimension of an affine space is the dimension of its associated vector space.

La dimension d'un espace affine est la dimension de l'espace vectoriel qui lui est associé.

3. In 1976 he and Daniel Quillen independently proved Serre's conjecture about the triviality of algebraic vector bundles on affine space.

En 1976, Andreï Sousline et Daniel Quillen ont démontré, indépendamment, la « conjecture de Serre » sur la trivialité des fibrés vectoriels algébriques sur un espace affine.

4. In these definitions, M is a smooth n-manifold and A = Aff(n)/GL(n) is an affine space of the same dimension.

Dans ces définitions, M est une variété différentielle de dimension n, et A = Aff(n)/GL(n) est un espace affine de même dimension.

5. More generally, an n-dimensional affine space is a Klein geometry for the affine group Aff(n), the stabilizer of a point being the general linear group GL(n).

Plus généralement, un espace affine de dimension n est une géométrie de Klein pour le groupe affine Aff(n), le stabilisateur d'un point étant le groupe linéaire GL(n).

6. Since Aff(n) acts on A, there is, associated to the principal bundle Q, a bundle A = Q ×Aff(n) A, which is a fiber bundle over M whose fiber at x in M is an affine space Ax.

Puisque Aff(n) agit sur A, il y a, associé au fibré principal Q, un fibré A = Q ×Aff(n) A, lequel est un fibré au-dessus de M dont la fibre en x (de M) est un espace affine Ax.